Der Zorn der Mathematiker

Kommt man gerade aus der Schule und glaubt, Mathematik im Großen und Ganzen verstanden zu haben, wird man an der Uni Bonn schnell eines Besseren belehrt. Wo man in der Schule noch Rechenvorschriften beigebracht bekommt, wird hier einmal das gesamte Modell auf den Kopf gestellt. Didaktisch sind die Vorlesungen nicht gerade über jeden Zweifel erhaben: Sie folgen streng der Bourbaki -Systematik “Definition - Satz - Beweis”. Das ist schade, denn der Grund für die Sätze bleibt immer dem Hörer als Übungsaufgabe überlassen.

Noch in den ersten Wochen müssen auch Prof. Leis die ratlosen Gesichter der Studenten aufgefallen sein. Jedenfalls versuchte er, die Zuhörer zu trösten:

Ach so: Alles, was ich Ihnen hier erzähle, gilt selbstverständlich auch im Endlichdimensionalen.

Dieser Satz ist mir bis heute in fester Erinnerung geblieben. Es versteht sich von selbst, dass diese Bemerkung gerade nicht tröstlich war. Dabei hätte man diesen Sprung auch noch gar nicht vornehmen müssen, denn er setzt Sätze voraus, die im ersten Semester mangels Grundlagen noch gar nicht verstanden werden.

Geister verstorbener Quantitäten

Während man in der Schule noch leichtfertig mit $dx$ und $dy$ als Brüche rechnet und mal Null setzt, wenn man sie loswerden möchte und mal ungleich Null, wenn sie im Nenner stehen, gibt die Uni die Anschauung auf und sperrt den geneigten Mathematikadepten in einen Formalismus aus $\delta$ und $\varepsilon$. Das ging so weit, dass eine Studentin vor der Weihnachtspause dem Dozenten eine Büchse mit selbst gebackenem Delta-Epsilon-Spritzgebäck überreichte.

Man konnte die Dinger schlicht nicht mehr sehen. Dabei haben Weierstraß und Cauchy diesen Formalismus nicht aus Bosheit eingeführt. Bischof George Berkeley hatte 1734 die Infinitesimalrechnung von Newton und Leibniz genüsslich als logischen Humbug zerpflückt.

In seiner Schrift The Analyst stellte Berkeley die Mathematiker vor ein unlösbares Dilemma: Wenn man die Steigung einer Kurve berechnen will, addiert man ein winziges Inkrement $dy$, dividiert durch dieses $dx$ – was zwingend voraussetzt, dass $dx \neq 0$ ist – und lässt das $dx$ am Ende der Rechnung plötzlich wieder zu Null verpuffen, um das exakte Ergebnis zu erhalten. Man teilt also erst durch eine Größe, um sie anschließend als nicht existent zu deklarieren. Berkeleys Spott saß tief:

And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities? – George Berkeley

Seine Spitze traf ins Mark: Was bitteschön sollten diese sogenannten Fluxionen oder Differentiale sein? Weder endliche Größen noch ein reines Nichts, sondern „Geister verstorbener Größen“. Ein Rechenknecht durfte sich zwar damit begnügen, dass die Formeln funktionierten, doch für eine Disziplin mit dem Anspruch absoluter logischer Strenge war das ein Skandal.

Ein ganzes Jahrhundert lang bewegte sich die Analysis auf diesem logischen Treibsand. Man rechnete mit Divisionen durch Null, die man im nächsten Atemzug wieder ignorierte, und vertraute schlicht darauf, dass die Intuition die Absurdität schon umschiffen würde.

Erst Cauchy und nach ihm Weierstraß zogen die Notbremse. Sie verbannten die vagen, flüchtigen „unendlich kleinen Größen“ und das mystische „Heranrücken“ vollständig aus dem Vokabular. Anstelle von Bewegung und Magie setzten sie statische Ungleichungen und Quantoren. Das berühmte $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium war geboren: Keine Geister mehr, sondern ein messerscharfes Duell zweier Größen. Für jedes noch so winzige, vorgegebene $\varepsilon > 0$ existiert ein $\delta > 0$, sodass der Abstand im Zielraum gebändigt bleibt.

Der Preis dafür war hoch: Die unmittelbare geometrische Anschaulichkeit wich einem Wald aus Indizes, Schranken und Betragsstrichen. Aus dem eleganten Schwung der Tangente wurde eine zähe Schachtelung von Bedingungen. Doch erst dieses Korsett gab der Analysis das Fundament, auf dem sie bis heute rüttelfest steht.

Am Anfang war die leere Menge

In der Grundschule hatten wir die naive Mengenlehre eingeführt; die moderne Mathematik setzt diese auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (ZF) auf. Mit diesen Grundlagen kann man dann überhaupt erst Zahlen konstruieren, von $\mathbb{N}$ bis $\mathbb{C}$ und allem, was dazwischen liegt (was nicht ganz stimmt, doch dazu später).

“Fast alle” heißt: Alle, bis auf endlich viele. – Auch alltägliche Aussagen werden in der Mathematik präzisiert.

Schauen wir uns eine einfache Übungsaufgabe an: Es sei $n^2$ gerade. Zu zeigen ist: $n$ ist gerade. Man kann das mit Schulmathematik einfach ausrechnen. Doch das bringt keinen Erkenntnisgewinn über die Struktur der Zahlen.

Was heißt überhaupt ‘gerade’? Offenbar gibt diese Eigenschaft nur in den ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) einen Sinn, denn in einem Körper (etwa der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$) ist jede Zahl teilbar: Die Körperaxiome setzen ja gerade ein multiplikatives Inverses voraus.

Der Trick ist jetzt, dass wir uns eine geeignete Struktur erzeugen, die auf das Problem passt. Die Eigenschaft ‘gerade’ zu sein, heißt, im Hauptideal zu liegen, das von $2$ erzeugt wird:

Da $2$ eine Primzahl ist, ist $\left(2\right)$ auch ein Primideal. Verwenden wir nun die definierende Eigenschaft eines Ideals $I$: Für alle $r \in \mathbb{Z}$ und $a \in I$ gilt $r \cdot a \in I$. Für $r = a = n$ folgt daraus sofort $n^2 \in (2)$.

Für $r=n$ gilt das zwingend auch für $n^2$. Für die andere Richtung $n^2$ gerade $\implies n$ gerade kommt die Primeigenschaft ins Spiel:

Keine Rechnerei, nur der Blick in die Struktur. Noch eleganter wird dieser Beweis, wenn man den Quotienten bildet: Man betrachtet den Restklassenkörper $\mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/(2)$. Dort ist $(2)$ die Nullklasse, und die Aussage lautet schlicht: In einem Körper gibt es keine echten Nullteiler ($x^2 = 0 \implies x = 0$).

Die dunkle Materie der Mathematik

Allerdings haben die Mathematiker irgendwann den Pakt mit dem Teufel (ich schreibe dies mit Faust in der Tasche) geschlossen, als sie das Auswahlaxiom akzeptiert haben. Zum Auswahlaxiom und der Motivation seiner Einführung liefert Edmund Weitz von der HAW Hamburg wie gewohnt ein hervorragendes Erklärvideo .

Das Auswahlaxiom stellt uns vor ein erkenntnistheoretisches Schisma: Wir akzeptieren eine axiomatische Existenzgarantie, die das gesamte Gebäude der modernen Analysis überhaupt erst zusammenhält, bezahlen dafür aber mit Objekten, die wie dunkle Materie wirken: Man spürt ihre Gravitation in jedem großen Beweis, aber kein Mensch wird jemals auch nur ein einziges Element davon zu Gesicht bekommen.

Um aus unendlich vielen Paaren von Schuhen zu wählen, braucht man kein Auswahlaxiom: Man wählt einfach aus jedem Paar den linken Schuh. Aber um aus unendlich vielen Paaren von Socken jeweils eine zu wählen, braucht man das Auswahlaxiom. – Bertrand Russell

Als Paul Gordan Ende des 19. Jahrhunderts mit Hilberts ersten rein logischen, nicht-konstruktiven Existenzbeweisen konfrontiert wurde, rief er entsetzt aus: „Das ist nicht Mathematik, das ist Theologie!“

Das Auswahlaxiom (AC) treibt diese Theologie auf die Spitze: Es garantiert die Existenz einer Auswahlmenge, liefert aber prinzipiell keinen Algorithmus, keine Vorschrift und keinen Weg, wie man an diese Elemente herankommt. In Kombination mit den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (ZFC) folgt daraus unter anderem der Wohlordnungssatz: Selbst die überabzählbar unendlichen reellen Zahlen $\mathbb{R}$ lassen sich wie an einer Schnur aufreihen, sodass jede Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Wie diese Ordnung aussieht? Man weiß es nicht.

Deswegen ist es auch schwierig, Beispiele für die Anwendung zu finden. Umgekehrt gibt es aber Sätze, die ohne AC nicht funktionieren würden, etwa der Satz „Jeder Vektorraum besitzt eine Basis“.

Ohne das Auswahlaxiom ist dieser Satz jedoch falsch. Betrachte z.B. den Vektorraum aller reellen Folgen:

Eine lineare Basis (eine sogenannte Hamel-Basis) verlangt: Jeder Vektor des Raumes muss sich als endliche Linearkombination von Basisvektoren darstellen lassen:

Im Endlichdimensionalen ($\mathbb{R}^n$) konstruiert man die Basis mit dem Gauß-Algorithmus schrittweise in endlicher Zeit. Im Unendlichen versagt das: Man kann Vektoren hinzufügen, aber man wird nie fertig. Die Dimension ist überabzählbar unendlich. Ohne AC kann man nicht beweisen, dass $V$ überhaupt eine Basis hat. Es gibt ZF-Modelle, in denen Vektorräume existieren, die schlicht keine Basis besitzen. Für die theoretische Physik und Funktionalanalysis (Quantenmechanik, Hilbert-Räume, Fourier-Theorie) bricht an dieser Stelle das Fundament weg: Man kann Operatoren nicht mehr über Basen darstellen.

Fazit

Schulmathematik und Ingenieurpraxis können es sich leisten, das Auswahlaxiom schlicht zu ignorieren – dort ist jede Matrix endlich, jeder Vektorraum überschaubar und jede Funktion brav konstruierbar. Eine Mathematik ohne Auswahlaxiom ist völlig legitim. So wie das Verwerfen des Parallelenaxioms uns die gekrümmten Räume der modernen Physik schenkte, zeigt die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms, dass Axiomensysteme keine Naturgesetze sind, sondern Architekturmodelle.

Der Zorn der Mathematiker galt nie der Strenge des Formalismus, sondern der bitteren Einsicht, dass man Reinheit nicht mit Mächtigkeit versöhnen kann. Um Analysis, Physik und Algebra auf ein rüttelfestes Fundament zu stellen, mussten Weierstraß, Zermelo und Max Zorn, dessen berühmtes Lemma den Namenspatron für diese Tragödie liefert, die anschauliche Gemütlichkeit opfern.

Quellen und Links

• Infinitesimalrechnung I von Prof. Dr. Rolf Leis